Материал высшей степени полезности!
Представьте, что вам надо записать математическое выражение, в котором число умножается само на себя 50 раз. На запись такого выражения понадобится много времени, но можно воспользоваться степенью числа, а сэкономленное время — потратить на решение такого большого выражения 🙂 В этой статье рассказываем про степени чисел, их свойства и области применения.
Что такое степень числа
В ней:
- a — основание степени;
- n — показатель степени.
Например, посчитаем 23:
Свойства степеней
Разберём свойства степеней, которые помогут упрощать большие выражения и быстрее находить значения.
Основное свойство степени с натуральным показателем
В ней:
- a — основание;
- n и m — показатели.
Теперь умножим 3² на 3⁴ и воспользуемся основным свойством степени, чтобы не пришлось возводить в степень каждый множитель:
Основное свойство степени с рациональным показателем
Степень с рациональным показателем mn для числа a можно выразить как корень n-й степени из числа a, возведённого в степень m:
Пример:
Умножение и деление степеней
Произведение степеней с одинаковым основанием:
Пример:
Произведение разных оснований в одинаковой степени:
Пример:
Деление степеней с разным основанием, но одинаковыми показателями:
Пример:
Деление степеней с одинаковым основанием:
Пример:
При возведении степени в степень, показатели умножаются:
Пример:
Сложение и вычитание степеней
Сложение и вычитание степеней с одинаковым основанием и показателем:
Пример:
Если основания одинаковые, но показатели разные, то надо отдельно вычислить степени и затем выполнить сложение или вычитание:
Степень нуля и единицы
У степени нуля и единицы есть несколько особых свойств:
- Ноль в любой положительной степени всегда будет равен нулю:
- Единица в любой степени всегда равна единице:
- Единица в нулевой степени равна единице:
- Ноль в нулевой степени (00) — неопределённое выражение. Математики пока ещё не договорились, чему равно это выражение.
Степени в реальной жизни
Степени чисел находят широкое применение во многих областях нашей жизни. Они позволяют описывать и моделировать процессы, связанные с быстрым ростом или уменьшением величин. Благодаря этому мы можем эффективно работать с большими и малыми числами, что особенно важно в современных технологиях и науке.
Площадь и объём
Чаще всего мы встречаем степени во время расчётов площади и объёма. Например, площадь квадрата со стороной a — a2, а объём куба с такой же стороной — a3.
Компьютерная техника
В информатике объёмы данных измеряются в степенях двойки.
Например:
- 1 КБ = 2¹⁰ байт = 1024 байт.
- 1 МБ = 2²⁰ байт = 1 048 576 байт.
Финансы
С помощью степени можно рассчитать сложные проценты. Например, узнать, сколько денег получится заработать с банковского вклада, используя формулу:
В ней:
- S — будущая сумма;
- P — первоначальная сумма;
- r — процентная ставка в десятичной форме;
- n — количество периодов.
Так, если вложить 1000 рублей под 5% годовых на три года, то получится заработать чуть больше 157 рублей:
Эпидемиология
Рост числа инфицированных при эпидемиях может быть экспоненциальным. Если каждый больной заражает двух человек, то число инфицированных растёт по формуле:
В ней:
- N₀ — начальное число инфицированных;
- n — число периодов передачи.
Если у нас изначально будет 10 заражённых, то через пять периодов заразятся 320 человек:
Что запомнить
- Степень показывает, сколько раз число умножается само на себя.
- Основные свойства степеней:
- При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются.
- При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя, а основание оставляют прежним.
- При возведении степени в степень показатели перемножаются.
- Рациональные показатели связаны с корнями числа.
- Степени широко используются в различных сферах: компьютерных науках, финансах и эпидемиологии.