Какое число самое большое в мире?

Выясняем, сколько муравьёв живёт на планете, и ищем предел бесконечности.

Самый очевидный ответ на вопрос «Какое число самое большое?» — никакое. Мы постоянно можем добавлять к числам по единице и получать всё большее число. Но что насчёт чисел, которым мы можем дать определение? В этой статье рассказываем про самые большие числа, известные науке, и пытаемся понять, есть ли предел у бесконечности.

Классические большие числа

Начнём с чисел, которые, хоть и огромны, могут быть описаны без большого труда. Для этого начнём считать числа степенями десяти — то есть 10 с разным количеством нулей. 102 — это число с двумя нулями или 100, 104 — с четырьмя, то есть 10 000, и так далее.

1 000 000

В миллионе 6 нулей (или 10 в 6-й степени). Примерно таким остаётся население Волгограда с конца девяностых по сегодняшний день. 1 024 000 пикселей составляют экран с разрешением 1280×800, которое было популярно в мониторах в конце нулевых и начале десятых. В современном 4К-экране число пикселей выросло до 8 294 400. А ещё примерно миллион иранских риалов нужно отдать, чтобы купить 25 долларов.

1 000 000 000

После миллиона идёт миллиард — или 10 в 9-й степени. До стольких вы досчитаете за 31 год и 8 месяцев, если будете считать раз в секунду. Всего в мире живёт около 8 миллиардов человек и примерно 1,2 миллиарда овец.

1 000 000 000 000

За миллиардом следует триллион — 10 в 12-й степени. Чтобы досчитать до триллиона тем же способом, что мы описали выше, понадобится уже больше 31 тысячи лет. А ещё примерно столько бактерий живёт на поверхности тела среднестатистического человека. Поэтому чаще мойте руки 🙂

1 000 000 000 000 000

Следующее за триллионом — квадриллион, или 10 в 15-й степени. Учёные считают, что на земле живёт примерно 20 квадриллионов муравьёв, или около 2,5 миллиона на каждого человека.

1 000 000 000 000 000 000

Далее в программе — квинтиллион, или 10 в 18-й степени. 43 квинтиллиона — количество возможных комбинаций оригинального кубика Рубика. В 1946 году, во время самой большой гиперинфляции в истории, центральный банк Венгрии начал печать валюты номиналом в 100 квинтиллионов пенгё. Правда, просуществовали такие деньги меньше месяца.

1 000 000 000 000 000 000 000

Следом за квинтиллионом идёт секстиллион — или 10 в 21-й степени. Именно столько молекул содержится в 0,03 миллилитра воды. Валюта номиналом в 1 секстиллион пенгё планировалась к печати в послевоенной Венгрии, однако идея так и осталась невоплощённой — по причине отказа от пенгё.

1 000 000 000 000 000 000 000 000

Следующий на очереди — септиллион, или 10 в 24-й степени. Примерно столько звёзд, считают учёные, существует в наблюдаемой Вселенной — части космоса, свет от которой мы гипотетически можем засечь.

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Октиллион — это 10 в 27-й степени. Из 7 октиллионов атомов состоит тело среднестатистического человека. Масса Земли в граммах равна примерно 6 октиллионам.

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Нониллион — это 10 в 30-й степени. Например, 1,98 нониллиона — масса Солнца в килограммах.

За октиллионом следует дециллион — 10 в 33-й степени. Площадь галактики Млечный Путь, по расчётам некоторых учёных, составляет около 702 дециллионов квадратных километров.

Названия чисел выше дециллиона используются крайне редко. Но ради иллюстрации, того, насколько гигантские числа можно встретить, приведём ещё несколько примеров.

Как вы видите, привычной нам системы записи (нотации) достаточно, чтобы дойти до чисел далеко за гранью практического смысла. Уже после 10 в 185-й степени числа теряют практический смысл и переходят в область чистой математики и комбинаторики. Но это ещё не всё, для по-настоящему огромных чисел привычная запись слишком тесная.

Нотация Кнута

В 1976 году американский математик Дональд Кнут решил, что работать со сверхбольшими числами в привычной нотации не очень удобно. А раз подходящего инструмента нет — нужно изобрести его самому. Так в математике появились стрелки Кнута (↑).

Чтобы понять, что они собой представляют и зачем нужны, вспомним хорошо знакомые нам операции с числами: сложение, умножение и возведение в степень. Теперь представим их в виде ступеней, где каждая следующая ступень повторяет предыдущую несколько раз.

• Сложение. Если мы пишем 3 + 4, то имеем в виду, что к числу 3 мы прибавляем число 4. Получаем 7.
• Умножение. Если мы пишем 3×4, то имеем в виду, что число 3 мы складываем с самим собой 4 раза, что даёт нам 12.
• Возведение в степень. Если мы пишем 34, то имеем в виду, что число 3 мы умножаем на себя 4 раза. Получаем 81.
  Здесь в дело вступают стрелки Кнута. В этой нотации 3↑4 — это то же самое, что и 34. Самое интересное начинается, когда мы добавляем несколько стрелок подряд.
• Тетрация. Если мы пишем 3↑↑4, то имеем в виду, что число 3 мы возводим в степень себя же 4 раза. Получается, что 3 надо возвести в степень 27: 327. В итоге получится 3 в степени 7 625 597 484 987. Представим, что мы заполнили всю наблюдаемую Вселенную песком и каждую секунду заменяем все эти песчинки новыми. Если мы будем заниматься этим в течение 10 миллионов лет, то общее количество песчинок, побывавших в нашей Вселенной-песочнице, и на одну миллионную не приблизится к числу 3↑↑4. Но и это не всё.
• Пентация. Если мы пишем 3↑↑↑4, то имеем в виду, что мы берём тетрацию 3 и 4 и проводим тетрацию этого числа 4 раза. Или выполняем 3↑↑327. Полученное число настолько огромно, что, когда мы попросили ChatGPT изобразить это число без стрелок Кнута, он просто отказался, сославшись на то, что его невозможно выразить в привычных цифрах.

Именно для случаев, когда число не вписывается в рамки обычных цифр, Дональд Кнут придумал использовать стрелки. Таких ступеней можно сделать сколько угодно, но даже на пентации числа становятся невообразимыми.

Число Грэма

В 1977 году американский математик-любитель Мартин Гарднер выпустил статью, в которой описал число Грэма. Сделал он это после того, как изучил неопубликованную работу Рональда Грэма и нашёл наибольшее число, когда-либо использовавшееся в математическом доказательстве. Чтобы объяснить, что такое число Грэма, нам нужно ввести переменную g.

Возьмём число 3↑↑↑↑3 и назовём его g1. Теперь представим число g2 — супероператор числа 3 с количеством стрелок Кнута, равным g2-1. То есть g2 = 3↑g13 или 3 с количеством стрелок Кнута, равных g1.

Разницу между g2 и g1 невозможно представить. Если вернуться к метафоре с песком и представить, что непостижимо гигантское число g1 имеет размер песчинки, то число g2 было бы в невероятное количество раз больше наблюдаемой Вселенной. Приводить иллюстрации грандиозности этих чисел становится всё сложнее. Даже попытка сопоставить самые крошечные и самые огромные объекты, известные нам, не слишком помогает.

Вернёмся к нашей переменной g. Мы уже выяснили, что общая запись числа Грэма выглядит как gn = 3↑gn-13, но само число Грэма — g64. Почему именно 64? Дело в том, что число появилось в момент, когда его автор пытался решить задачу по комбинаторике другого математика, Фрэнка Рамсея. Число Грэма — решение задачи, страшно представить её условия.

Никакие попытки представить масштаб числа g64 не имеют смысла. Чтобы сохранить это число в цифровом формате без использования стрелок Кнута и других альтернативных нотаций, не хватит памяти на всех компьютерах мира. Но мы не закончили. С 1977 года, когда Мартин Гарднер описал число Грэма, прошло немало времени, и другие математики предложили большие, гораздо большие числа. Расскажем про одно из таких.

Число Райо

26 января 2007 года в Массачусетском технологическом университете прошла «Дуэль больших чисел» — соревнование между профессорами философии Адамом Эльгой и Агустином Райо на то, кто придумает большее число. Правила дуэли были следующие:

• Участники по очереди называют числа.
• Число должно быть представлено таким образом, чтобы его можно было записать с использованием ограниченного количества символов.
• Нельзя использовать произвольные числа, которые не могут быть объяснены с помощью установленных математических концепций и обозначений. То есть с ответом «любое число, которое назовёт мой противник, плюс 1» выиграть бы не получилось.
• Нельзя повторять определение соперника, изменив лишь какие-то из чисел в его ответе.

Как несложно догадаться из названия этого раздела, победителем дуэли стал Агустин Райо.

Число Райо — это не конкретное число, а скорее подход к определению числа. Сам Райо описывал его так:

• Самое маленькое число, которое больше, чем…
• Любое конечное число, которое…
• …может быть определено выражением на языке теории множеств первого порядка с использованием менее чем гугол символов.

Для иллюстрации представим, что мы хотим записать число с гугол символов на листах, из которых состоит школьная тетрадь. Допустим, что каждая страница вмещает 30 линий по 74 символа в каждой, или суммарно 2220 символов. Чтобы написать наше число, понадобится 1096 страниц — намного больше количества атомов во Вселенной. Ни один компьютер и приблизительно не может рассчитать такое число.

На «Дуэли больших чисел» философ дал более сложное определение с помощью формул, переменных и логических операций, поэтому правила соревнования он не нарушил и заслуженно ушёл домой победителем.

С тех пор математики предлагали другие, теоретически ещё большие числа, но многие из них, такие как, например, BIG FOOT (да, это настоящее название числа), определяются похожим способом, и точно установить, больше ли они числа Райо, сложно, если вообще возможно.

Бесконечность — не предел

Но что насчёт бесконечности — можем ли мы назвать её самым большим числом? Бесконечность — это не число, а концепция, описывающая отсутствие конечного предела. Так что нет, не можем. Однако даже бесконечность не является последним рубежом и в наших подсчётах. Всё потому, что бесконечности бывают разные и некоторые бесконечности больше других.

Когда мы думаем о бесконечности, чаще всего мы представляем бесконечность натуральных чисел, тех, что мы используем для подсчёта отдельных объектов. 1, 2, 3, 4, 5… и так далее. И да, это правда бесконечность — одна из многих. Добавим к ней все рациональные числа — то есть простые дроби, например ¾, — и получим бесконечность со своим математическим названием — алеф-ноль, или ℵ0.

Её особенность в том, что, если бы у нас было бесконечное количество времени, мы могли бы перечислить все символы в ней. То есть теоретически мы можем описать любое число, входящее в ℵ0. С натуральными числами всё просто, за 1 следует 2, за 126 идёт 127, а после гугол логично будет написать гугол + 1.

Мы даже можем описать все рациональные числа, хоть это и чуть сложнее. Для этого представим бесконечную матрицу простых дробей, выстроенную таким образом:

В этой матрице начнём перечислять числа по диагонали:

• 1/1
• 2/1, 1/2
• 3/1, 2/2, 1/3
• 4/1, 3/2, 2/3, 1/4

Так, двигаясь по матрице, мы опишем все возможные рациональные числа. Да, на это нам понадобится бесконечное количество времени, но исключительно с математической точки зрения это реально.

Но если мы возьмём бесконечность действительных чисел, ситуация поменяется. Действительные числа — это подмножество, которое включает в себя все рациональные и все иррациональные числа. В свою очередь, иррациональные числа — это числа, которые мы не можем представить в виде простой дроби. Например, известное нам со школы число π. Такие числа мы обозначаем с помощью десятичных дробей с бесконечным и не повторяющимся количеством цифр после запятой: π = 3,1415926535…

Бесконечность действительных чисел называется алеф-один (ℵ1). Математик Георг Кантор доказал, что эта бесконечность больше, чем ℵ0, потому что, в отличие от алеф-ноль, в ней невозможно перечислить все числа, даже если бы у нас было бесконечное количество времени. И вот как он это сделал:

Представим бесконечную матрицу с произвольными иррациональными числами. Например:

Создадим новое число — для этого начнём с верхнего левого угла и пойдём вниз по диагонали, добавляя к исходному числу каждое встретившееся нам число матрицы. Получаем 0,13157… Теперь мы возьмём это число и применим к нему такое правило: каждую 1 после запятой превратим в 2, а все другие числа превратим в 1. Получим число 0,21211… Такое число гарантированно не будет встречаться в нашей, казалось бы, бесконечной матрице. Потому что, исходя из нашего правила, она будет отличаться от любого другого числа хотя бы одной цифрой.

Примечание: здесь и далее все расчёты очень примерные.